Vectores

¿Qué significa R3?
 

   R3, es el conjunto de todas las tríadas ordenadas de números reales (x, y, z). Este producto cartesiano también es conocido como el espacio numérico tridimensional. Las componentes son conocidas como las coordenadas. Similarmente a como ocurre en R2, una tríada ordenada (x, y, z) de números reales se le puede asociar un único punto P del espacio geométrico tridimensional y recíprocamente un punto P en el espacio geométrico se le hace corresponder una única tríada ordenada. Esta última correspondencia se hace de manera análoga como en el sistema cartesiano R2 y es como sigue: la coordenada X es la distancia del punto P al plano YZ (en R2 era la distancia al eje Y), similarmente se determinan las otras dos coordenadas.

¿Qué es un Vector?

Un vector en una línea recta, la cual posee una serie de elementos, los cuales son: 

•     Punto de origen o punto de aplicación (A): es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
•     Extremo(B) 

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•        Módulo: El módulo, es la longitud o tamaño del vector. Para saber el módulo de un vector, debemos       medir desde su origen hasta su extremo, es decir, se necesita conocer el origen y el extremo del vector.

                                                                                                                                                          

•         Dirección: La dirección, viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

•                   Sentido: El sentido, se indica mediante una flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

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¿Qué son vectores en R3?

Es un sistema de coordenadas tridimensional, el cual se constituye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas X/Y.

 Cada punto viene determinado por tres coordenadas: P(X, Y, Z).

¿Cómo graficar en R3?

Para ubicar un punto en el espacio formado por una tríada de números, donde el primero representa la coordenada X, el segundo la coordenada Y y el tercero la coordenada Z. Se trazan perpendiculares desde las coordenadas  X y Y, luego, en la intersección de estas, se traza una paralela al eje Z y perpendicular al plano XY, sobre esta última se mide la coordenada Z para encontrar el punto.

Como por ejemplo: 

OCTANTES

Notación	Nombre	Primera Coordenada	Segunda Coordenada	Tercera Coordenada
I	Primer Octante	X > 0	Y > 0	Z > 0
II	Segundo Octante	X < 0	Y > 0	Z > 0
III	Tercer Octante	X < 0	Y < 0	Z > 0
IV	Cuarto Octante	X > 0	Y < 0	Z > 0
V	Quinto Octante	X > 0	Y > 0	Z < 0
VI	Sexto Octante	X < 0	Y > 0	Z < 0
VII	Séptimo Octante	X < 0	Y < 0	Z < 0
VIII	Octavo Octante	X > 0	Y < 0	Z < 0

Los vectores en R3 los podemos utilizar en la contracción de una casa, por ejemplo, la esquina de una habitación, si no fijamos en la parte inferior de dicha esquina, esta seria el origen, y si nos ubicamos en frente de esta esquina, con vista hacia ella, la pared de la izquierda es el plano XZ, formado por el eje vertical Z, el cual se dirige hacia el techo y el eje X que llega hasta nosotros. El plano XY es el piso y el plano YZ es la pared de la derecha.

Por otra parte los vectores no solo nos sirven para la representación grafica, sino también para operar y relacionar magnitudes vectoriales entre ellas. Por lo tanto al operarlas no se tratan como las magnitudes escalares. 

RESUMEN: 

  Un vector es una línea recta, que posee una serie de elementos llamados: punto de origen o también conocido como punto de aplicación, un extremo, un modulo, una dirección y un sentido. A su vez, un vector en R3, es un sistema de coordenadas tridimensional, el cual se constituye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas X/Y (R3, es el conjunto de todas las tríadas ordenadas de números reales X, Y, Z, y este es también conocido como el espacio numérico tridimensional).

  

Por otra parte para poder graficar en R3 tenemos que ubicar un punto formado por una triada de números, en el cual el primero representa la coordenada X, el segundo la coordenada Y, y el tercero y ultimo la coordenada Z. Estos se trazan perpendicularmente desde las coordenadas X/Y, para posteriormente en la intersección de ellas, se trace la paralela Z, y por ultimo se mide esta coordenada Z para obtener el punto. 

Cabe destacar que para saber, ¿para que se utilizan los vectores? debemos conocer el significado de la palabra vector. sabes que un vector en una lines recta, la cual tiene, módulo, dirección y sentido, entonces podemos colocar como ejemplo, la construción de una casa (una de sus esquinas), en la cual la parte inferior de dicha esquina es el origen, la pared izquierda es el plano XZ, y la pared de la derecha en el plano YZ.

                                                  

Adición de vectores en R3

La adición de vectores es una suma algebraica de todos sus componentes respectivos a sus ejes X, Y, Z; es decir, para sumar dos vectores se deben sumar sus componentes.

Por ejemplo:

Ejercicio:

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa 

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto 

Sustracción de de vectores en R3

Para poder realizar una sustracción de vectores en R3 debemos restar las componentes del primer vector con las componentes del segundo vector. 

Ejemplo:

 ¿Como se representa geométricamente el vector adición y el vector sustracción en R3?

  

 Los vectores W y Y  sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es vector suma y el vector de la diagonal menor es el vector diferencia. 

¿Como se calcula la dirección en los vectores R3?

Tenemos que la dirección de 

está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z.

está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z.

Los ángulos a, b, y,  son llamados ángulos directores 

Dados por:

En el siguiente link aparece un vídeo en el cual se realizan unos ejercicios de adición y sustracción en r3.

https://www.youtube.com/watch?v=d2Nnfj-WqZk

Resumen

Para poder realizar una adición de vectores en R3 solo debemos sumar sus componentes, es decir, sumamos los componentes del segundo vector con los componentes del segundo vector. Este procedimiento es el mismo que se aplica en la sustracción de vectores, solo que en este caso no sumamos sino que restamos.